Wiederspruch? (Summe von Winkel)

[MarcusK]

> Jeder Winkel lässt sich als Summe einer festen Menge vorgegebener Winkel darstellen.
und
> Das bedeutet: cos(67,5°) ≠ cos(45°) + cos(22,5°)

finde ich irgendwie widersprüchlich. Ich kann jedes Zahl irgendwie aus eine Summe von andere Zahlen bilden. Aber Scheinbar geht es hier ja nicht einfach.

[jhi (Golem.de)]

Ja, das Problem an der Stelle ist, dass ich nicht gleichzeitig den Winkel (67,5° = 45° + 22,5°) und das Ergebnis der Winkelfunktion (0,3827 ≠ 0,7071 + 0,9239) korrekt zusammensetzen kann.
Natürlich lässt sich auch cos(67,5°) = 0,3827 aus Cosinus-Werten anderer Winkel summieren, aber eben nicht aus denen, deren Summe 67,5° ergibt.
Das Problem ist, dass die Addition eine lineare Funktion ist, der Sinus nicht.

Johannes Hiltscher
(Golem.de)

[interlingueX]

Die hier relevanten Rechenvorschriften für Winkelfunktionen lauten (z. B. nach Bronstein et al., Taschenbuch der Mathematik, Ausgabe wurscht):

sin(a ± b) = sin a * cos b ± cos a * sin b

und

cos(a ± b) = cos a * cos b ∓ sina * sin b

Das zeigt, dass man hier, aufgrund der Nichtlinearität der Funktionen, wie jhi schon geschrieben hat, nicht einfach die Summe der Funktionswerte bilden kann, um den Funktionswert der Summe zu erhalten.

Bei Quadratfunktionen beispielsweise ist es die gleiche Sache:

(a + b)² = a² + 2 * a * b + b² (siehe binomische Gleichungen)

Wenn du hier z. B. a = 4 und b = 2 einsetzt, kommst du auch nicht auf 4² + 2² = 20, sondern auf 36.

P.S.: Hab' deinen Titel mal repariert :)

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”I don't judge people based on race, creed, color or gender. I judge people based on spelling, grammar, punctuation and sentence structure.“



1 mal bearbeitet, zuletzt am 09.06.23 16:13 durch interlingueX.

[interlingueX]

jhi (Golem.de) schrieb:
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> Das Problem ist, dass die Addition eine lineare Funktion ist, der Sinus
> nicht.

Ist eine Addition nicht eher eine Verknüpfung als eine Funktion? Oder vermische ich da grad gleichlautende Begriffe aus der Informatik und der Mathematik?

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”I don't judge people based on race, creed, color or gender. I judge people based on spelling, grammar, punctuation and sentence structure.“